Capítulo 15 «Medida: conceptos y errores»

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a. Sobre las medidas

Ciertas mag. físicas (masa, temperatura, fuerza) quedan definidas cuando se establecen el proceso de medición, a través de la igualdad y la suma. Este tipo de definición se llama OPERACIONAL. (Existen otras mag. que se definen por una relación convencional a partir de un cierto contenido físico)

La obtención de una medida por un determinado proceso de medición, cualquiera sea, puede ser más o menos precisa debido a:

  1. limitaciones de nuestros aparatos de medida; todos dan el resultado de una medición, con seguridad, hasta cierto orden decimal;
  2. limitación teórica como por ejemplo, en el dominio atómico (Principio de Incertidumbre);
  3. alteraciones producidas entre la interacción entre el dispositivo de medición y lo que queremos medir;
  4. la propia indeterminación de la cantidad a medir y la imperfección de los sentidos (errores personales).

En síntesis, el proceso de medición nos lleva a la obtención del valor más representativo de la magnitud medida con un determinado margen de error.

b. Medida DIRECTA

Una medida nunca está exactamente determinada; siempre presenta un intervalo de tolerancia en el valor de la misma, llamado INCERTIDUMBRE de la medida (más frecuentemente, error absoluto máximo).

Desde el punto de vista de la Física «error» NO es equivalente a «equivocación», el error de una medida no solo es imposible que no exista sino que es imprescindible para que la medida sea correcta.

Una medida correctamente expresada debe proporcionar el VALOR MAS PROBABLE de la magnitud y la INCERTIDUMBRE correspondiente.

El valor más probable de una magnitud es el valor que podemos conocer con mayor precisión.

Una forma de determinar el valor más probable es formar una serie de medidas de la misma magnitud (p.ej. medir una longitud con la misma regla varias veces y de ser posible por varias personas). Obtendremos así valores que diferirán un poco entre sí, pero si aceptamos que aquellos que difieren por encima y por debajo del valor más probable son igualmente probables, podemos tomar como el valor más probable el valor medio de la serie (promedio aritmético).

Si M es el valor más probable de las «N» medidas entonces:

    \[M = \frac{M_1 + M_2 + M_3 + \cdots + M_N}{N}\]

Si existe un valor predominante de la serie (modo) se toma este valor como el más probable.

Para la incertidumbre de la medida M (\delta M) debemos tomar una cantidad tal que sumada y restada a M, cubra un intervalo tal que nos asegure que cualquier medida caerá dentro del intervalo o, por lo menos, que sea altamente probable que caiga dentro de él.

Si tomamos un eje con la medida M y su incertidumbre \delta M, se expresa:

    \[\boxed{M = M \pm \delta M}\]

Cuanto más precisa sea una medida, menor es \delta M.

Si en las «N» medidas tomadas se elije la mayor y la menor, toda otra está dentro del intervalo acotado por estas y el valor medio equidistante de ellas. Si llamamos RANGO a tal intervalo, el \delta M puede evaluarse por el SEMIRANGO, que es la «distancia» de la media a cada extremo:

    \[\text{Rango} = V_{máx.} - V_{mín.} \qquad \Rightarrow \qquad \text{Semirango} = \frac{V_{máx.} - V_{mín.}}{2}\]

    \[\boxed{\delta M = \frac{M_{máx.} - M_{mín.}}{2}}\]

c. Error relativo y error porcentual

La precisión de una medida se evalúa efectuando el cociente entre la incertidumbre o error \delta M y el valor más probable M. A este cociente se llama ERROR RELATIVO o incertidumbre relativa.

    \[\boxed{\text{ERROR RELATIVO} = \frac{\delta M}{M}}\]

Cuanto menor sea el error relativo más precisa es la medida, ya que es menor \delta M en comparación con M (no es lo mismo un \delta M de un metro para una medida de 15m que para una medida de 7500m).

ERROR PORCENTUAL es la multiplicación del error relativo por cien. Nos indica si la medida es «admisible». Por ejemplo un 1% (1 en 100) de error porcentual es un error pequeño; en cambio si el error porcentual es del 50% (50 en 100) el error es muy grande comparado con la medida, esto nos llevaría a realizar nuevamente la medida y, hasta descartarla en ciertas circunstancias.

    \[\boxed{\text{ERROR PORCENTUAL} = \text{ERROR RELATIVO} \cdot 100\%}\]

d. Medidas Indirectas

Son aquellas que se obtienen OPERANDO con medidas directas. Por ejemplo la medida del área a partir de la medida de la base y la medida de la altura.

El valor más probable se obtiene de la operación de los valores más probables de las medidas directas que intervienen en el proceso, y su error mediante el uso de los teoremas de distribución de errores (ver más abajo).

e. Clasificación de errores

Existen dos grandes grupos: SISTEMÁTICOS (o determinados) y ACCIDENTALES (o azarosos).

1) Errores Sistemáticos son aquellos que, en principio, pueden ser conocidos y por lo tanto corregidos (aunque a veces se torne difícil):

  • a) Errores instrumentales — ej. reglas mal graduadas, masa mal marcadas, balanza de brazos desiguales, etc. — en gral. pueden corregirse.
  • b) Errores de método — cuando se plantean varios métodos posibles para realizar la medida — en gral. puede deducirse el más adecuado.

2) Errores Accidentales son en gral. de pequeña cuantía y fluctuantes en valor y signo. Su valor es menor que la apreciación del instrumento, siempre que se trabaje en buenas condiciones y que el operador sea cuidadoso, evitando errores de paralaje, no estimando con demasiado «optimismo», manejando correctamente los instrumentos, etc.

f. Cifras Significativas

Su número expresa la precisión con que se realiza una medida; incluyen todos los dígitos seguros y el primero inseguro. Por ejemplo: M = 0{,}635 \pm 0{,}002 indica que el 5 es el primer inseguro con un error estimado de 2.

  1. Los ceros que únicamente señalan el lugar decimal de la primera cifra distinta de cero no se consideran C.Sig. (El ej. anterior tiene 3 cifras significativas).
  2. Si una medida tiene más de una C.Insegura se debe expresar con una, la primera a la izquierda, al lado de las C.Seguras. Si la segunda c. insegura es 4 o menor que 4 no modifica la 1era. insegura; si es 5 o más le agrega un dígito (Regla del redondeo). Ejemplo: 5{,}67823\,\text{m} con las cifras 8, 2 y 3 inseguras, se expresa correctamente como 5{,}678\,\text{m}; 68{,}57\,\text{Kg} con 5 y 7 inseguras, queda 68{,}6\,\text{Kg}.
  3. El error de una medida debe estar expreso con una cifra insegura, sin cifras seguras. Si por algún método el error queda con más de una cifra, todas ellas son inseguras, quedándonos con la primera distinta de cero.
  4. La última cifra de la medida DEBE coincidir con la cifra insegura del error: M = (43 \pm 6)\,\text{m}, M' = (0{,}435 \pm 0{,}002)\,\text{m}.
  5. Para la notación científica la medida (y el error) se expresan en potencia de diez siendo el número que acompaña la potencia menor a 10 y mayor o igual a 1. Ejemplos: 711\,\text{m} = 7{,}11 \cdot 10^2\,\text{m} ; 0{,}603\,\text{N} = 6{,}03 \cdot 10^{-1}\,\text{N}.

Las cifras significativas NO tienen nada que ver con el lugar de la coma («,»).

g. Propagación de errores

El análisis lo dividiremos en tres partes: 1) planteo de los casos más comunes en el Práctico, 2) casos particulares, 3) demostraciones.

1) Ejemplos de propagación de errores que se utilizarán en el práctico

CASO E. RELATIVO E. ABSOLUTO
1S = a + b—\delta S = \delta a + \delta b
2R = a - b—\delta R = \delta a + \delta b
3M = a \cdot b\dfrac{\delta M}{M} = \dfrac{\delta a}{a} + \dfrac{\delta b}{b}\delta M = b \cdot \delta a + a \cdot \delta b
4D = \dfrac{a}{b}\dfrac{\delta D}{D} = \dfrac{\delta a}{a} + \dfrac{\delta b}{b}\delta D = \dfrac{b \cdot \delta a + a \cdot \delta b}{b^2}
5P = a^n\dfrac{\delta P}{P} = \dfrac{n \cdot \delta a}{a}\delta M = n \cdot a^{n-1} \cdot \delta a
6\text{sen}\,\alpha\dfrac{\delta(\text{sen}\,\alpha)}{\text{sen}\,\alpha} = \dfrac{\delta\alpha}{\text{tg}\,\alpha}\delta(\text{sen}\,\alpha) = \delta\alpha \cdot \cos\alpha
7\cos\alpha\dfrac{\delta(\cos\alpha)}{\cos\alpha} = \text{tg}\,\alpha \cdot \delta\alpha\delta(\cos\alpha) = \delta\alpha \cdot \text{sen}\,\alpha

Ejemplos:

1E_M = E_{Pg} + E_c—\delta E_M = \delta E_{Pg} + \delta E_c
2x = l_f - l_i—\delta x = \delta l_f + \delta l_i
3P = m \cdot g\dfrac{\delta P}{P} = \dfrac{\delta m}{m} + \dfrac{\delta g}{g}\delta P = g \cdot \delta m + m \cdot \delta g
4K = \dfrac{F}{x}\dfrac{\delta K}{K} = \dfrac{\delta F}{F} + \dfrac{\delta x}{x}\delta K = x \cdot \delta F + F \cdot \delta x
5z = v^2\dfrac{\delta z}{z} = \dfrac{2 \cdot \delta v}{v}\delta z = 2 \cdot v \cdot \delta v

2. Casos particulares

  • I) Si a es constante no tiene error (\delta a = 0).
  • II) Si \delta b \ll \delta a \Rightarrow \delta b \to 0 \Rightarrow \delta a \cong \delta\text{magnitud}.
  • III) Si \delta b \ll \dfrac{\delta b}{b} \Rightarrow \dfrac{\delta M}{M} \cong \dfrac{\delta a}{a} (Caso 3 y 4).
  • IV) Si \dfrac{\delta b}{b} \ll \dfrac{\delta a}{a} \Rightarrow \dfrac{\delta M}{M} \cong \dfrac{\delta a}{a} (Caso 3 y 4).

(\ll: muchísimo menor; \to: tiende a cero, es despreciable; \cong: aprox.=)

Para pensar:

  1. ¿Cómo explicaría con un ejemplo concreto por qué, en una resta de magnitudes, el error es la suma de los errores de las medidas?
  2. Obtenga el error de E_c si:

        \[E_c = \frac{1}{2} \cdot m v^2\]

3. Deducción

I) SUMA: S = a + b

    \[S \pm \delta S = (a \pm \delta a) + (b \pm \delta b) = (a + b) \pm (\delta a + \delta b) \quad \Rightarrow \quad \boxed{\delta S = \delta a + \delta b}\]

II) RESTA: R = a - b

    \[R \pm \delta R = (a \pm \delta a) - (b \pm \delta b) = a - b \pm (\delta a + \delta b) \quad \Rightarrow \quad \boxed{\delta R = \delta a + \delta b}\]

Otra forma — Valor máximo: R + \delta R = (a + \delta a) - (b - \delta b) = a - b + (\delta a + \delta b)

    \[\Rightarrow \quad \boxed{\delta R = \delta a + \delta b}\]

III) Multiplicación: M = a \cdot b

    \[M \pm \delta M = (a \pm \delta a)(b \pm \delta b) = a \cdot b \pm (a \cdot \delta b + b \cdot \delta a) + \delta a \cdot \delta b\]

Como \delta a \cdot \delta b \to 0 (comparado con los otros valores):

    \[\boxed{\delta M = a \cdot \delta b + b \cdot \delta a \quad \text{(Error Absoluto)}}\]

    \[\boxed{\frac{\delta M}{M} = \frac{\delta b}{b} + \frac{\delta a}{a} \quad \text{(Error Relativo)}}\]

IV) División: D = \dfrac{a}{b}

Operando algebraicamente y despreciando los términos \delta a \cdot \delta b \to 0, \delta b^2 \to 0 y 2b \cdot \delta b \ll b^2:

    \[\boxed{\delta D = \frac{a \cdot \delta b + b \cdot \delta a}{b^2} \quad \text{(Error Absoluto)}}\]

    \[\boxed{\frac{\delta D}{D} = \frac{\delta b}{b} + \frac{\delta a}{a} \quad \text{(Error Relativo)}}\]

V) Sen \alpha:

    \[\delta(\text{sen}\,\alpha) = \text{sen}(\alpha + \delta\alpha) - \text{sen}\,\alpha = \text{sen}\,\alpha \cdot \cos(\delta\alpha) - \cos\alpha \cdot \text{sen}(\delta\alpha) - \text{sen}\,\alpha\]

Si \delta\alpha \to 0 \Rightarrow \cos(\delta\alpha) \to 1 y \text{sen}(\delta\alpha) \to \delta\alpha:

    \[\boxed{\delta(\text{sen}\,\alpha) = \cos\alpha \cdot \delta\alpha \quad \text{(Error Absoluto)}}\]

    \[\boxed{\frac{\delta(\text{sen}\,\alpha)}{\text{sen}\,\alpha} = \frac{\delta\alpha}{\text{tg}\,\alpha} \quad \text{(Error Relativo)}}\]

VI) Cos \alpha:

    \[\delta(\cos\alpha) = \cos(\alpha + \delta\alpha) - \cos\alpha = \cos\alpha \cdot \cos(\delta\alpha) - \text{sen}\,\alpha \cdot \text{sen}(\delta\alpha) - \cos\alpha\]

Si \delta\alpha \to 0:

    \[\boxed{\delta(\cos\alpha) = \text{sen}\,\alpha \cdot \delta\alpha \quad \text{(Error Absoluto)}}\]

    \[\boxed{\frac{\delta(\cos\alpha)}{\cos\alpha} = \text{tg}\,\alpha \cdot \delta\alpha \quad \text{(Error Relativo)}}\]

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