18. Magnitudes vectoriales y escalares

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Magnitudes Escalares y Vectoriales.

Las magnitudes físicas suelen clasificarse en mag. escalares y mag. vectoriales. Las magnitudes cuyos valores pueden representarse por números reales (ver: "Real" [7]), positivos o negativos, se llaman ESCALARES (por ej: masa, temperatura, trabajo, etc.). Las magnitudes cuyas características se determinan tanto por sus dimensiones como por sus direcciones en el espacio, se llaman VECTORIALES (fuerza, velocidad, aceleración, etc.) y se representan por vectores.

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ESCALARES:

Son magnitudes que se expresan por medio de números reales y una unidad.

Por lo anterior podrían ser mayores o menores a cero (o sea positivos o negativos), pero algunas magnitudes particulares solo pueden ser positivas como la masa, la energía cinética o la variación de tiempo.

Operaciones. – Ver: "Propiedades de la adición y la multiplicación" [8].

Suma (o resta) de Escalares. – El resultado de sumar (o restar) dos escalares entre sí es otro escalar.

Se debe cuidar que:

1. Sean magnitudes del mismo tipo (Se suman masas con masas y no con temperaturas).

2. Tengan la misma unidad. Si una masa es de 10 y otra es de 1000, NO se puede sumar si no tienen la misma unidad, por ej. Kg.

3. Si están escritos en potencia de diez, antes de sumar, cuide que sea la misma para ambos (ver: "Potenciación" [10]).

Multiplicación (o división). –

a) De un ESCALAR por un NUMERO: Es otro escalar del mismo tipo.

b) De un ESCALAR por otro ESCALAR: El resultado es otro escalar cuya unidad es la multiplicación (o división) de ambas unidades.

Los escalares cumplen todas las propiedades de los n°. reales.

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VECTOR:

Un VECTOR es un seg. de recta orientado, por lo tanto tiene longitud, dirección y sentido. Debe cumplir también con las reglas de las operaciones vectoriales (ver: "suma y resta de vectores" ↓).

* Características.-

Se simboliza por $\overrightarrow{AB}$, siendo A el origen y B su extremo, $\overrightarrow{a}$ o $a$.

**1. MODULO, Intensidad.** – Es el valor absoluto, la «cantidad» del vector y está dado por la longitud del mismo. Si el vector representa una mag. vectorial además del valor numérico debe aparecer la unidad. (ver: «Magnitudes: unidades»)

Se escribe " $a=\dots$ " o " $|\overrightarrow{a}|=\dots$ " y está representado por la longitud del vector. Esta se debe trazar a ESCALA (Por ej: 1cm $\to$ 10N) (cada 1cm de longitud equivale a 10N de fuerza).

Es conveniente distinguir cuando se habla del módulo ( $a$ ) o del vector ( $\overrightarrow{a}$ ). En este último caso debe incluirse las otras características.

No se pone el valor (30N) al lado del vector; si se desea especificar el mismo (sin utilizar la escala) se escribe aparte.

Ejemplos:

Si se tiene representado el vector, se mide su largo y a partir de la escala se determina el módulo.

Ejemplo:

*(Otra forma de indicar la escala es hacer equivaler tantos «cm» a tantos «N» (o a la unidad que corresponda). Por ej.: 1cm $\to$ 30m/s)*

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2. DIRECCIÓN. – Es la recta que contiene el vector. Ej.: Norte-Sur, vertical, horizontal, etc. En algunos casos se indica el áng. que forma la recta con respecto a un determinado plano, eje, otro vector, etc. (ej.: 30° con respecto a la horizontal).

Ejemplos:

(*.- Para que sea realmente vertical se debe "parar" la hoja.)

3. SENTIDO. – Es hacia donde indica el vector y se señala por una flecha en el extremo del mismo. Ej.: Hacia el norte, hacia abajo.

Observe que en una dirección (una recta) hay dos sentidos posibles (Dirección horizontal, sentido hacia la izquierda o hacia la derecha) y que la dirección NO indica hacia donde es el vector. Cuando uno se pregunta (o le preguntan): "¿ Cuál es la dirección de … ?" La respuesta NO puede ser "HACIA …". (Cuidado: En algún texto se confunden ambas características o se unifican en una sola)

Ejemplos:

Cuando se representan vectores cuya dirección es perpendicular al plano al material de trabajo (pizarrón, cuaderno), no se pueden dibujar y el sentido se establece por convención: si el vector "sale" del plano se indica por "o" y si "entra" por "e". Observe que en este caso NO se puede representar el módulo del vector.

4. PUNTO DE ORIGEN. – Es el lugar donde comienza el vector. En el caso de la fuerza se denomina "Punto de Aplicación" e indica donde se realiza la misma.

Si se trata de un vector fijo su ubicación debe hacerse con mucho cuidado (ver ejercicio B).

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Resumiendo:

REPRESENTACIÓN:

Toda la información sobre el vector se indica en su representación. (No se escribe "la dirección es —", "el módulo vale —", etc.)

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Ejercicios:

A) Escriba la dirección y sentido de los siguientes vectores:

B) Escriba sobre qué objetos se aplica las siguientes fuerzas.

C) Represente un vector de $10\frac{\text{m}}{\text{s}}$, horizontal hacia la derecha.

D) Anote las características del siguiente vector.
*Escala: 10cm $\to$ 40N

E) ¿Cuál de los dos vectores se debe dibujar más grande?
$P=4,0\text{N}$ $$ $v=50\frac{\text{m}}{\text{s}}$

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Vector LIBRE. – Es un vector que no varía si se mueve paralelamente a sí mismo, de modo que su origen caiga en cualquier punto del espacio.

Vector FIJO. – Es un vector cuyo origen está fijado en un punto determinado del espacio. Esto significa que si se representa en otro lugar la misma es incorrecta.

Vector AXIAL o DESLIZANTE. – Es el que puede trasladar solo a los puntos situados a lo largo de su dirección.

Vector UNITARIO. – Es el vector cuyo módulo es igual a 1 o la unidad.

Vectores OPUESTOS. – Son vectores de igual dirección y módulo, y sentido contrario.

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SUMA DE VECTORES.-

Si son mag. vectoriales:

a.- Deben actuar sobre un mismo cuerpo (o un sistema de cuerpos si corresponde)

b.- Solo se puede sumar vectores entre sí.

c.- Deben ser del mismo tipo de mag. (Fuerzas con fuerzas).

d.- Se deben "cuidar" las unidades, la potencia de diez (ver) así como todas las carac. vectoriales de los sumandos. Si están representados se debe saber la escala.

e.- La mag. resultante es otro VECTOR del mismo tipo (Al ser un vector se debe expresar todas sus características (NO alcanza con decir su módulo)).

Importante: La suma de vectores no se realiza sumando sus módulos. Si se suma dos escalares de 3,0Kg y 4,0Kg el resultado es de 7,0Kg, si se suma dos números (3 y 4) el resultado es un solo (7), en cambio si se suman dos vectores de 3,0N y 4,0N el resultado puede ser cualquier valor entre 1,0N y 7,0N. Esa es la razón de todo este planteo.

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FORMA DE RESOLUCION:

Encontrar el vector resultante significa que se puede sustituir un conjunto de vectores (con las características indicadas arriba) por uno solo que produce el mismo efecto. Esto implica que desde el vector resultante, los vectores sumando ya no estarían más.

Existen varios métodos para la obtención del vector resultante. Independientemente del método utilizado, el vector va a tener las mismas características (módulo, dirección, sentido, punto de origen) por lo tanto el problema no pasa por la elección del método "correcto" sino por el que le sea más sencillo.

Hay dos formas de resolución: el mét. analítico y el mét. gráfico.

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I) Método ANALÍTICO.-

Es una resolución a partir de ecuaciones en función de los datos que se posea y las incógnitas que se piden. Tanto uno como otro varían en cada situación (ver esquema ↓).

Para el alumno tiene como positivo que es más "mecánica" su resolución pero tiene una serie de inconvenientes:

a.- Debe dominarse una gran cantidad de ecuaciones.

b.- Se debe saber aplicar en cada caso particular.

c.- NO evita la representación del vector.

d.- Su resultado no es más "seguro" que el obtenido por el otro mét.. (A veces parece existir más seguridad en las "fórmulas" que en el "dibujo").

e.- A través de las ecuaciones, por lo menos en los niveles iniciales, es muy difícil que el alumno comprenda que está sucediendo físicamente. En este sentido el método gráfico aparece como más claro. (Justamente es a partir de estos cursos que espera que el alumno sepa interpretar a las ecuaciones.

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II) Método GRAFICO (*).-

(*.- No confundir con GRAFICA)

El método se basa en la representación, a escala, de los vectores para poder operar con ellos.

Para utilizar este es necesario saber, justamente, representar vectores, conocer geometría (por eso hay un capítulo) y tener los instrumentos necesarios (semicírculo, compás, etc.).

Dentro del mét. gráfico hay dos formas posibles de resolución:

II.a) Método del POLIGONO.-

Se une un vector consecutivamente con el otro (el extremo de uno con el origen del siguiente). Para esto ubique un punto a partir del cual dibuja un vector (el orden no importa, ¿por qué?).

El vector resultante se traza desde el origen del primero hasta el extremo del último.

II.b) Método del PARALELOGRAMO.-

La idea es formar un paralelogramo cuyos lados diferentes son los vectores "sumandos" y la diagonal es el vector "resultante". Para esto:

1. Traslade los dos vectores dados tal que coincida su punto de origen (o aplicación). Para trace un punto que puede estar en un lugar determinado que se destaca o puede ser elegido por Ud.

2. Del extremo de cada vector trace un segmento de recta ‘punteado’ (llamada línea auxiliar), paralelo y de igual longitud que el otro vector. Se formará un paralelogramo.

3. El vector $\overrightarrow{C}$ coincide con la diagonal que va desde el punto de intersección de los orígenes hasta el punto de corte de las líneas auxiliares. (CUIDADO: NO confunda las diagonales)
   

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PROBLEMA:

Se han sumado los vectores $\overrightarrow{A}$ y $\overrightarrow{B}$, dando como resultado el $\overrightarrow{C}$ y al realizar la misma se han cometido una serie de errores al aplicar los métodos de resolución.

Indique al lado de cada figura el método que "supuestamente" se ha utilizado y todos los errores que se han cometido al aplicarlo. Si tiene duda de cuál es el método, analícelo según sea para uno u otro.

Recuerde: $\overrightarrow{C}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$

NO COMETA ESTOS ERRORES, PIENSE.

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SUMA DE 2 VECTORES COPLANARES.- $\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}$

El siguiente es un esquema donde se plantean los casos particulares más importantes y sus diferentes formas de resolución.

Se llama vectores coplanares porque todos los vectores están en un mismo plano.

(1) El áng. menor entre los vectores cuando coincide su punto de origen.
(2) Los vectores están superpuestos.
Sugerencias:
Para los casos I) y II) utilice el mét. analítico y para los casos III) y IV) el mét. gráfico.
(Recuerde que en todos los casos los vectores se deben representar)
Para el caso III) se pueden aplicar las líneas trigonométricas.

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Problemas.-

A) ¿En qué caso el módulo del vector resultante es igual a la suma de los módulos de los vectores sumandos?

B) Se suman dos vectores de 20N y 40N, ¿Cuánto vale el módulo del vector resultante?

C) Demuestre que la ecuación para obtener el módulo resultante en el caso IV sirve para todos los casos.

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Mag. Vectoriales con IGUAL DIRECCIÓN. – En muchos casos sucede que todas las mag. vect. tienen la misma dirección, con lo cual la complejidad vectorial se simplifica, especialmente en la suma y la resta.

En este caso se plantean dos situaciones (los dos sentidos) que se tratan en forma similar a los escalares, asignándole el signo positivo a un sentido y el negativo al otro. Esta elección es arbitraria y tiene como único fin diferenciar un sentido del contrario. Por ej. para una dirección horizontal, se le puede asignar hacia la derecha el "positivo" y hacia la izquierda, el "negativo".

A partir de esto se puede deducir que:

a) Cuando tenemos una magnitud, el signo del módulo nos dice el sentido de la misma. En nuestro ej. si $v=-10\frac{\text{m}}{\text{s}}$, el sentido es hacia la izquierda.

b) Si todas las mag. tienen el mismo sentido, a este se le atribuye el signo positivo.

c) Si las mags. vectoriales tienen diferentes direcciones, NO se puede "hablar" de positivo o negativo.

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Suma de 3 o más vectores:

$$\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}=\overrightarrow{D}(\ast )$$

Método del POLÍGONO:

El método es el explicado arriba (ver).
#### Método del PARALELOGRAMO:

Se suma dos vectores y a la resultante se le suma el tercero.

* Observe que el método del polígono es mucho más sencillo que el del paralelogramo.

* ¿Cómo se aplicaría el método analítico?

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En algunos casos el vector resultante conviene obtenerlo por la conjunción de varios métodos.

Ejemplo:

(*.- Se hace para tres vectores. Ud. debe generalizarlo.)

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RESTA DE VECTORES.-

(Relea SUMA)

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DESCOMPOSICION DE VECTORES.-

Si se tiene el vector resultante, ¿cómo se puede obtener los vectores sumandos?, o lo que es similar: ¿cómo se obtiene las componentes que forman un vector?

Si se tienen dos vectores y se sabe operar, el vector resultante va a ser único (es ese y no puede ser otro), en cambio si se tiene el vector y se quiere saber que vectores lo componen, se tendría infinidad de soluciones posibles. (Es lo mismo que si tengo 4 tizas y 3 tizas y sumo, el resultado solo puede ser 7 tizas; en cambio, si me dicen que tengo 7 tizas en dos bolsas, existen varias soluciones posibles: 0+7, 1+6, 2+5, etc.)

Para superar lo anterior se debe dar más información como son las direcciones de los vectores componentes a través de un esquema y/o el ángulo que forman con el vector (ver fig., líneas punteadas = dirección de las componentes).

Si se observa la fig. se puede deducir los sentidos de los vec. componentes (hacia la derecha y hacia arriba).

Por lo tanto el problema se reduce a obtener los módulos de los mismos y para eso hay que representarlos.

(El mét. NO va a ser redactado, conociendo lo anterior, razone)

$\overrightarrow{A}$ es el vector (conocido) y, $\overrightarrow{A_1}$ y $\overrightarrow{A_2}$ las componentes (incógnitas).

MÉTODO DEL POLÍGONO

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MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

#### MÉTODO ANALÍTICO

Representación:

Datos: $A$, $\alpha$ y $\beta$
$\mu =\alpha +\beta$
$\delta =180°-\mu$
$\text{sen}\mu =\text{sen}\delta$
$\cos \mu =-\cos \delta$

Incógnitas: $A_1$ y $A_2$.
Por el Teorema del Seno (*):

$$\frac{\text{sen}\delta }{A}=\frac{\text{sen}\beta }{A_1}\Rightarrow \boxed{{\displaystyle A_1=\frac{\text{sen}\beta \cdot A}{\text{sen}\delta }}}$$$$\frac{\text{sen}\delta }{A}=\frac{\text{sen}\alpha }{A_2}\Rightarrow \boxed{{\displaystyle A_2=\frac{\text{sen}\alpha \cdot A}{\text{sen}\delta }}}$$

(*.- Ver en Geometría, Triángulo NO rectángulo)